关于解析簇的周炜良定理

周炜良于1949年发表了一篇重要论文“关于紧复解析簇”.所谓解析簇V，是指对任何p∈V，总存在一组解析函数g1，g2，…，gn，和点p的一个邻域B(p)，使得V∩B(p)中的点x都是g1，g2，…，gn的零点.这是一种局部性质.由于多项式都是解析函数，所以代数簇都是解析簇.周炜良证明了某些情形下的逆命题：

“若V是n维复射影空间CPn中的闭解析子簇，那么它一定是代数簇，而且所有闭解析子簇间的半纯映射，一定是有理映射”.

这一反映由局部性质向整体性质过渡的深刻结论，被称为周炜良定理(ChowTheorem)，在代数几何学著作中广受重视.在许多论文里，常常把它作为新理论的出发点.

复解析流形

1950年前后，复解析流形的研究形成热门课题.日本数学家小平邦彦(K.Kodaira)是这方面的专家，当时也在美国工作，与周炜良有交往.1952年，周炜良证明了如下结果：“若V是复r维的紧复解析流形，F(V)是V上半纯函数所构成的域，则F(V)是有限的代数函数域，其超越维数s不会大于r.此外，还存在一s维的代数簇V＇以及V到V＇的半纯变换T，使T可诱导出F(V)和F(V＇)间的同构.特别地，如果可选择V＇使得T还是双正则变换，那么V必是代数簇.这就把复解析流形和代数簇联系起来了.

把这个一般的结论用于二维的克勒(Khler)曲面，并用小平邦彦所建立的克勒流形上的黎曼-罗赫(Riemann-Roch)定理，就可以得出如下结论：“具有两个独立的半纯函数的克勒曲面(即s=r=2的情形)一定是代数曲面.”这是周炜良和小平邦彦合作的论文中的一个结论，被称为周-小平(Chow-Kodaira)定理.

周炜良簇和周炜良环

用周炜良坐标可以对平面曲线和空间曲线进行分类.只要由已知的次数d和亏数g，从非奇异的空间射影曲线的周炜良坐标形成所谓周炜良簇，就能很自然地用有限个拟射影簇将它参数化.

在射影簇研究上，另一个为人们称道的周炜良引理(ChowLemma)，涉及完全簇和射影簇的关系.苏联数学家И.Р.沙法列维奇(ЩaфapeВИЧ)在其名著《代数几何基础》中曾提到这一引理：

“对于每一个不可约的完全簇X，总有一个射影簇X＇，使得X和X＇之间有一双有理同构”.

周炜良在射影簇方面最著名的工作是提出周炜良环(ChowRing).他于1956年发表的论文“关于代数簇上闭链的等价类”中，提出了射影代数簇上代数闭链的有理等价性的系统理论.大意是：设V是n维射影空间Pn上的代数簇，其上的s维闭链所成的群为G(V，s)，与零链等价的闭链成子群Gr(V，s).令Hr(V，s)是二者的商群.将s从1到n作直和，得Hr(V)=Hr(V，s).

周炜良在Hr(V)上定义一种乘法，使之构成环，这就是著名的周炜良环.它是结合的，交换的，具有单位元.这篇论文由M.F.阿蒂亚(Atiyah)写成文摘刊于美国的《数学评论》.